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解法一

要求一个序列中最小的k个数，按照惯有的思维方式，则是先对这个序列从小到大排序，然后输出前面的最小的k个数。

至于选取什么的排序方法，我想你可能会第一时间想到快速排序（我们知道，快速排序平均所费时间为  n*logn  ），然后再遍历序列中前k个元素输出即可。因此，总的时间复杂度：  O（n * log n)+O(k)=O（n * log n）  。

解法二

咱们再进一步想想，题目没有要求最小的k个数有序，也没要求最后n-k个数有序。既然如此，就没有必要对所有元素进行排序。这时，咱们想到了用选择或交换排序，即：

1、遍历n个数，把最先遍历到的k个数存入到大小为k的数组中，假设它们即是最小的k个数； 
2、对这k个数，利用选择或交换排序找到这k个元素中的最大值kmax（找最大值需要遍历这k个数，时间复杂度为  O（k）  ）； 
3、继续遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与kmax比较：如果  x < kmax  ，用x替换kmax，并回到第二步重新找出k个元素的数组中最大元素kmax‘；如果  x >= kmax  ，则继续遍历不更新数组。

每次遍历，更新或不更新数组的所用的时间为  O（k）  或  O（0）  。故整趟下来，时间复杂度为  n*O（k）=O（n*k）  。

解法三

更好的办法是维护容量为k的最大堆，原理跟解法二的方法相似：

1、用容量为k的最大堆存储最先遍历到的k个数，同样假设它们即是最小的k个数；
2、堆中元素是有序的，令k1<k2<...<kmax（kmax设为最大堆中的最大元素）
3、遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与堆顶元素kmax比较：如果  x < kmax  ，用x替换kmax，然后更新堆（用时logk）；否则不更新堆。
这样下来，总的时间复杂度:  O（k+（n-k）*logk）=O（n*logk）  。此方法得益于堆中进行查找和更新的时间复杂度均为：  O(logk) （若使用解法二：在数组中找出最大元素，时间复杂度：  O（k））  。

解法四

在《数据结构与算法分析--c语言描述》一书，第7章第7.7.6节中，阐述了一种在平均情况下，时间复杂度为  O（N）  的快速选择算法。如下述文字：

选取S中一个元素作为枢纽元v，将集合S-{v}分割成S1和S2，就像快速排序那样
如果k <= |S1|，那么第k个最小元素必然在S1中。在这种情况下，返回QuickSelect(S1, k)。
如果k = 1 + |S1|，那么枢纽元素就是第k个最小元素，即找到，直接返回它。
否则，这第k个最小元素就在S2中，即S2中的第（k - |S1| - 1）个最小元素，我们递归调用并返回QuickSelect(S2, k - |S1| - 1)。
此算法的平均运行时间为O(n)。

这个快速选择SELECT算法，类似快速排序的划分方法。N个数存储在数组S中，再从数组中选取“中位数的中位数”作为枢纽元X，把数组划分为Sa和Sb俩部分，Sa<=X<=Sb，如果要查找的k个元素小于Sa的元素个数，则返回Sa中较小的k个元素，否则返回Sa中所有元素+Sb中小的k-|Sa|个元素，这种解法在平均情况下能做到  O(n)  的复杂度。

更进一步，《算法导论》第9章第9.3节介绍了一个最坏情况下亦为O(n)时间的SELECT算法，有兴趣的读者可以参看。

//QuickSelect 将第k小的元素放在 a[k-1]  
void QuickSelect( int a[], int k, int left, int right )
{
    int i, j;
    int pivot;

    if( left + cutoff <= right )
    {
        pivot = median3( a, left, right );
        //取三数中值作为枢纽元，可以很大程度上避免最坏情况
        i = left; j = right - 1;
        for( ; ; )
        {
            while( a[ ++i ] < pivot ){ }
            while( a[ --j ] > pivot ){ }
            if( i < j )
                swap( &a[ i ], &a[ j ] );
            else
                break;
        }
        //重置枢纽元
        swap( &a[ i ], &a[ right - 1 ] );  

        if( k <= i )
            QuickSelect( a, k, left, i - 1 );
        else if( k > i + 1 )
            QuickSelect( a, k, i + 1, right );
    }
    else  
        InsertSort( a + left, right - left + 1 );
}