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算法原理

先上一张堆排序动画演示图片：

1. 不得不说说二叉树

要了解堆首先得了解一下二叉树，在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作 “左子树”（left subtree）和 “右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

二叉树的每个结点至多只有二棵子树（不存在度大于 2 的结点），二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第 i 层至多有 2i - 1 个结点；深度为 k 的二叉树至多有 2k - 1 个结点；对任何一棵二叉树 T，如果其终端结点数为 n0，度为 2 的结点数为 n2，则 n0 = n2 + 1。

树和二叉树的三个主要差别：

• 树的结点个数至少为 1，而二叉树的结点个数可以为 0
• 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为 2
• 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分

二叉树又分为完全二叉树（complete binary tree）和满二叉树（full binary tree）

满二叉树：一棵深度为 k，且有 2k - 1 个节点称之为满二叉树

完全二叉树：深度为 k，有 n 个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为 k 的满二叉树中序号为 1 至 n 的节点对应时，称之为完全二叉树

2. 什么是堆？

堆（二叉堆）可以视为一棵完全的二叉树，完全二叉树的一个 “优秀” 的性质是，除了最底层之外，每一层都是满的，这使得堆可以利用数组来表示（普通的一般的二叉树通常用链表作为基本容器表示），每一个结点对应数组中的一个元素。

对于给定的某个结点的下标 i，可以很容易的计算出这个结点的父结点、孩子结点的下标：

• Parent(i) = floor(i/2)，i 的父节点下标
• Left(i) = 2i，i 的左子节点下标
• Right(i) = 2i + 1，i 的右子节点下标

二叉堆一般分为两种：最大堆和最小堆。

最大堆：

• 最大堆中的最大元素值出现在根结点（堆顶）
• 堆中每个父节点的元素值都大于等于其孩子结点（如果存在）

最小堆：

• 最小堆中的最小元素值出现在根结点（堆顶）
• 堆中每个父节点的元素值都小于等于其孩子结点（如果存在）

3. 堆排序原理

堆排序就是把最大堆堆顶的最大数取出，将剩余的堆继续调整为最大堆，再次将堆顶的最大数取出，这个过程持续到剩余数只有一个时结束。在堆中定义以下几种操作：

• 最大堆调整（Max-Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
• 创建最大堆（Build-Max-Heap）：将堆所有数据重新排序，使其成为最大堆
• 堆排序（Heap-Sort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算

继续进行下面的讨论前，需要注意的一个问题是：数组都是 Zero-Based，这就意味着我们的堆数据结构模型要发生改变

相应的，几个计算公式也要作出相应调整：

• Parent(i) = floor((i-1)/2)，i 的父节点下标
• Left(i) = 2i + 1，i 的左子节点下标
• Right(i) = 2(i + 1)，i 的右子节点下标

最大堆调整（MAX‐HEAPIFY）的作用是保持最大堆的性质，是创建最大堆的核心子程序，作用过程如图所示：

由于一次调整后，堆仍然违反堆性质，所以需要递归的测试，使得整个堆都满足堆性质，用 JavaScript 可以表示如下：

function maxHeapify(array, index, heapSize) {

    var iMax = index,
    iLeft = 2 * index + 1,
    iRight = 2 * (index + 1);

    if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) {
        iMax = iLeft;
    }

    if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) {
        iMax = iRight;
    }

    if (iMax != index) {
        swap(array, iMax, index);
        maxHeapify(array, iMax, heapSize);
    }
}

function swap(array, i, j) {
    var temp = array[i];
    array[i] = array[j];
    array[j] = temp;
}

通常来说，递归主要用在分治法中，而这里并不需要分治。而且递归调用需要压栈 / 清栈，和迭代相比，性能上有略微的劣势。当然，按照 20/80 法则，这是可以忽略的。但是如果你觉得用递归会让自己心里过不去的话，也可以用迭代，比如下面这样：

function maxHeapify(array, index, heapSize) {
    var iMax, iLeft, iRight;
    
    while (true) {
        iMax = index;
        iLeft = 2 * index + 1;
        iRight = 2 * (index + 1);

        if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) {
            iMax = iLeft;
        }

        if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) {
            iMax = iRight;
        }

        if (iMax != index) {
            swap(array, iMax, index);
            index = iMax;
        } else {
            break;
        }
    }
}

function swap(array, i, j) {

    var temp = array[i];

    array[i] = array[j];

    array[j] = temp;

}

创建最大堆（Build-Max-Heap）的作用是将一个数组改造成一个最大堆，接受数组和堆大小两个参数，Build-Max-Heap 将自下而上的调用 Max-Heapify 来改造数组，建立最大堆。因为 Max-Heapify 能够保证下标 i 的结点之后结点都满足最大堆的性质，所以自下而上的调用 Max-Heapify 能够在改造过程中保持这一性质。如果最大堆的数量元素是 n，那么 Build-Max-Heap 从 Parent(n) 开始，往上依次调用 Max-Heapify。流程如下：

用 JavaScript 描述如下：

function buildMaxHeap(array, heapSize) {
    var i,iParent = Math.floor((heapSize - 1) / 2);
    for (i = iParent; i >= 0; i--) {
        maxHeapify(array, i, heapSize);
    }
}

堆排序（Heap-Sort）是堆排序的接口算法，Heap-Sort 先调用 Build-Max-Heap 将数组改造为最大堆，然后将堆顶和堆底元素交换，之后将底部上升，最后重新调用 Max-Heapify 保持最大堆性质。由于堆顶元素必然是堆中最大的元素，所以一次操作之后，堆中存在的最大元素被分离出堆，重复 n-1 次之后，数组排列完毕。整个流程如下：

用 JavaScript 描述如下：

function heapSort(array, heapSize) {

    buildMaxHeap(array, heapSize);

    for (int i = heapSize - 1; i > 0; i--) {
        swap(array, 0, i);
        maxHeapify(array, 0, i);
    }
}

JavaScript 语言实现

最后，把上面的整理为完整的 javascript 代码如下：

function heapSort(array) {

    function swap(array, i, j) {

        var temp = array[i];

        array[i] = array[j];

        array[j] = temp;

    }

    function maxHeapify(array, index, heapSize) {

        var iMax,iLeft,iRight;
        while (true) {
            iMax = index;
            iLeft = 2 * index + 1;
            iRight = 2 * (index + 1);

            if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) {
                iMax = iLeft;
            }

            if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) {
                iMax = iRight;
            }

            if (iMax != index) {
                swap(array, iMax, index);
                index = iMax;
            } else {
                break;
            }
        }

    }

    function buildMaxHeap(array) {
        var i, iParent = Math.floor(array.length / 2) - 1;
        for (i = iParent; i >= 0; i--) {
            maxHeapify(array, i, array.length);
        }
    }

    function sort(array) {
        buildMaxHeap(array);
        for (var i = array.length - 1; i > 0; i--) {
            swap(array, 0, i);
            maxHeapify(array, 0, i);
        }

        return array;
    }
    return sort(array);
}