几种常用的数学算法
// 欧拉函数:(要求gcd(x,p)==1,即x、p互素)
// 令ϕ(m)表示小于等于m且与m互素的正整数的个数。
// 如果x和m互质,则有xϕ(m)≡1(mod m),即x×xϕ(m)−1≡1(modm),xϕ(m)−1即为x的逆元。
// 在m为质数的情况下,ϕ(m)=m−1,即为费马小定理。
// 对于任意整数n,可以将它分解n=pk11∗pk22∗pk33...pkmm,其中pi为质数。
// 其中ϕ(n)=ϕ(p1k1)∗ϕ(pk22)...ϕ(pkmm)
// 最后转化为ϕ(n)=n∗∏(pi−1)/pi
void Make_phi(){
phi[1]=1;not_prime[1]=true;
for(int i=2;i<=maxn;i++){
if(!not_prime[i]){
prime[++prime[0]]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=prime[0];j++){
if(i*prime[j]>maxn)break;
not_prime[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0){
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
}
// 2.费马小定理:
// 在p是素数的情况下,对任意整数x都有xp≡x(mod)p。
// 如果x无法被p整除,则有xp−1≡1(mod p)。
// 可以在p为素数的情况下求出一个数的逆元,x∗xp−2≡1(mod p),xp−2即为逆元。
int phi(int n){
int res=n;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
if(!(n%i)){
res=res*(i-1)/i;
while(!(n%i))n/=i;
}
}
if(n!=1)res=res*(n-1)/n; //说明n是质数
return res;
}
// 求x对于mod p的逆元:
// 1.扩展欧几里得:(要求gcd(x,p)==1,即x、p互素)
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){
x=1;y=0;
return a;
}
int re=gcd(a,b,y,x);
y-=a/b*x;
return re;
}
int inv(int x,int p){
int iv,temp;
exgcd(x,p,iv,temp);
return (iv%p+p)%p;
}
// 线性逆元递推:(O(n)求出1~n内所有数对于mod p的逆元)
// inv[1]=1
// inv[n]=(p-p/n)*inv[p%n]%p
int inv[maxn],mod;
void Make_inv(int max){
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=max;i++)
inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
// 线性筛选素数
int prime[maxn];
bool not_prime[maxn];
void Make_prime(int max){ //筛出1到max内的所有素数储存在prime中,prime[0]为素数数量
not_prime[1]=true;
for(int i=2;i<=max;i++){
if(!not_prime[i])
prime[++prime[0]]=i;
for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]*i<=max;j++){
not_prime[prime[j]*i]=true;
if(!(i%prime[j]))break;
}
}
}